如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,稜長爲a,E爲稜CC1上的動點

題目：

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,稜長爲a,E爲稜CC1上的動點
1.E恰爲稜CC1的中點是,求證,平面A1BD⊥平面EBD
2.在1.的條件下,求VA1-BDE

解答：

用數量關係來求解吧


（1）如圖連接各點,F爲底面ABCE的中心點
∵ 在正方體的稜長爲a,E 爲稜CC1的中點
∴ CE = a/2,AF = CF = √2a/2
在平面AA1C1C內,A1A ⊥平面ABCD,CC1⊥平面ABCD,CC1⊥平面A1B1C1D1
∴ A1A ⊥AF,CC1⊥CF,CC1⊥A1C1
∴ △A1AF是直角三角形,△ECF是直角三角形,△EA1C1是直角三角形
根據勾股定理,有
∴ (A1F)² = (A1A)² + (AF)² = a² + (√2a/2)² = 6a²/4
     (EF)² = (EC)² + (CF)² = (a/2)² + (√2a/2)² = 3a²/4
     (A1E)² = (A1C1)² + (EC1)² = (√2a)² + (a/2)² = 9a²/4
∴  (A1F)² + (EF)² = (A1E)²   
∴ △A1EF是直角三角形,∠A1FE = 90°
∴ A1F ⊥EF
在平面ABCD中,AC⊥BD,又CC1⊥BD平面ABCD
∴ BD⊥平面AA1C1C
∴ BD⊥A1F,BD⊥EF
∴ ∠A1FE 是平面A1BD 和平面EBD的二面角 
∵ 又已經證明 ∠A1FE = 90°
∴ 平面A1BD⊥平面EBD

（2）
∵ 平面A1BD⊥平面EBD
∴ 三角錐A1-BDE是一個直角三角錐
∴ 三角錐A1-BDE的體積 V = 1/3 × 底面積A1BD × 高EF
∵ BD⊥平面AA1C1C
∴ BD⊥A1F
∴ △A1BD的面積 = 1/2 × BD × A1F =1/2 × √2a × √3a/2 = √6a/4
∴ 三角錐A1-BDE的體積 V = 1/3 × √6a/4 × √3a/2 = √2a²/8