求證兩兩相交而不過同一點的四條直線必在同一個平面內.

題目:

求證兩兩相交而不過同一點的四條直線必在同一個平面內.

解答:

證明:第一種情形(如圖1):四條直線l1,l2,l3,l4沒有三條直線過同一點,
這時它們共有六個交點A、B、C、D、E、F,它們各不相同,
因直線l1,l2相交於點A,可決定一平面α;
因點B、C、D、E均在平面α內,
所以直線l3,l4也在平面α內,
故直線l1,l2,l3,l4同在平面α內.
第二種情形(如圖2):四條直線l1,l2,l3,l4中有三條,
例如l1,l2,l3,過同一點A,
因直線l4不過點A,
故由點A及直線l4可決定一平面α,
因直線l4與直線l1,l2,l3,相交,
設交點爲B、C、D,
則點B、C、D在直線l4上,從而在平面α內,
因此,直線l1,l2,l3,各有兩點在平面α內,
即這三條直線在平面α內,
故四直線l1,l2,l3,l4在同一平內.

試題解析:

解決此題,先要畫出圖形,前三條線只能畫成「兩兩相交,且不交於同一點」,這樣才能保證第四條線與前三條全相交,這樣的話圖形一共可以分爲兩類.然後,我們可以根據推論1或者推論2,先把平面確定好,然後再根據公理1,進一步證明其餘的直線也在這個平面里.

名師點評:

本題考點: 平面的基本性質及推論.
考點點評: 此題難度係數不大,關鍵在於畫對圖形.重點考查了推論1、2與公理1,這些都是很簡單的道理,但是能夠運用起來,卻不是那麼容易,做題時不要煩躁,理清線條,定理運用其實很簡單!

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