已知abcd是兩兩相交且不共點的四條直線,求證:abcd共面

題目:

已知abcd是兩兩相交且不共點的四條直線,求證:abcd共面

解答:

  1)無三線共點情況,設a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.
  ∵a∩d=M,∴a,d可確定一個平面α.
  ∵N∈d,Q∈a,∴N∈α,Q∈α,
  ∴NQ屬於α,即b屬於α.
  同理c屬於α.∴a,b,c,d共面.
  (2)有三線共點的情況,設b,c,d三線相交於點K,與a分別交於N,P,M且K∉a.
  ∵K∉α,∴K和a確定一個平面,設爲β.
  ∵N∈a,a屬於β,∴N∈β.
  ∴NK屬於β即b屬於β.
  同理c屬於β,d屬於β,∴a,b,c,d共面.
  由(1)(2)知a,b,c,d共面.


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