急!求冪級數在收斂區域內的和函數(n=1~∞)∑(n^2)*[x^(n-1)} x∈(-1,1) 需詳細過程!

題目：

急!求冪級數在收斂區域內的和函數(n=1~∞)∑(n^2)*[x^(n-1)} x∈(-1,1) 需詳細過程!

解答：

設f(x)=∑(n^2)*x^(n-1),f(0)=1.積分得：∫(0,x)f(x)dx=∑nx^n=x∑nx^(n-1)=xg(x) g(0）=1
對g(x)=∑nx^(n-1)積分得：∫(0,x)g(x)dx=∑x^n=x/(1-x),所以：g(x)=1/(1-x)^2
∫(0,x)f(x)dx=xg(x) =x/(1-x)^2,所以：f(x)=(x+1)/(1-x)^3