請老師給我講一下磁場問題中求磁場最小面積的方法

題目：

請老師給我講一下磁場問題中求磁場最小面積的方法
每次都分析錯，希望老師解答

解答：

解題思路： 依據題意根據物理規律分析帶電粒子的運動情形，適當地結合數學方法，認真加以分析，找到問題的突破口，那麼關於求磁場區域最小面積的問題都可以得到解決。
解題過程：
磁場最小面積的確定方法
電磁場內容歷來是高考中的重點和難點。近年來求磁場的問題屢屢成爲高考中的熱點，而這類問題單純從物理的角度又比較難求解，求磁場區域最小面積的三類問題
難點：磁場的區域未知，帶電粒子運動軌跡只是部分圓弧，在運動過程中的臨界點（如軌跡的切點、磁場的邊界點等）難以確定。求磁場區域最小面積問題中關於帶電粒子運動的速度大小和方向變化的三類問題：
類型一：速度大小和方向都不變
這類問題，先根據題意確定好運動軌跡，再由幾何知識找到矩形磁場面積最小時的邊界點和軌跡的相切點，問題就迎刃而解了。
類型二：速度大小改變、方向不變
這類問題，磁場的邊界主要是根據粒子運動方向的限制，分析各個粒子的運動軌跡特點而找到。這部分相對來說有一定的分析難度。
類型三：速度大小不變、方向改變。
這類問題，難點在於磁場區域邊界的確定，其中一個邊界根據物理規律可以分析找到，另一個邊界則要結合數學方法即參數法可以找到。這種類型對綜合分析問題的能力要求較高。
總的來說，解決這三種類型問題的關鍵是，依據題意根據物理規律分析帶電粒子的運動情形，適當地結合數學方法，認真加以分析，找到問題的突破口，那麼關於求磁場區域最小面積的問題都可以得到解決。
下面介紹幾種數學方法。
一、幾何法
1. 一質量爲m、電荷量爲+q的粒子以速度，從O點沿y軸正方向射入磁感應強度爲B的圓形勻強磁場區域，磁場方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場區域後，從b處穿過x軸，速度方向與x軸正方向的夾角爲30°，同時進入場強爲E、方向沿與x軸負方向成60°角斜向下的勻強電場中，通過了b點正下方的c點，如圖1所示，粒子的重力不計，試求：
（1）圓形勻強磁場區域的最小面積；
（2）c點到b點的距離。

圖1
解析：（1）先找圓心，過b點逆著速度v的方向作直線bd，交y軸於d，由於粒子在磁場中偏轉的半徑一定，且圓心位於Ob連線上，距O點距離爲圓的半徑，據牛頓第二定律有：
①
解得 ②
過圓心作bd的垂線，粒子在磁場中運動的軌跡如圖2所示：要使磁場的區域有最小面積，則Oa應爲磁場區域的直徑，由幾何關係知：

圖2
③
由②③得
所以圓形勻強磁場的最小面積爲：

（2）帶電粒子進入電場後，由於速度方向與電場力方向垂直，故做類平拋運動，由運動的合成知識有：
④
⑤
而 ⑥
聯立④⑤⑥解得
二、參數方法
2．在xOy平面內有許多電子（質量爲m、電荷量爲e），從坐標原點O不斷地以相同的速率沿不同方向射入第一象限，如圖3所示。現加一個垂直於平面向里，磁感應強度爲B的勻強磁場，要使這些電子穿過磁場區域後都能平行於x軸向x軸正向運動。求符合該條件磁場的最小面積。

圖3
解析：由題意可知，電子是以一定速度從原點O沿任意方向射入第一象限時，先考察速度沿+y方向的電子，其運動軌跡是圓心在x軸上的A1點、半徑爲的圓。該電子沿圓弧OCP運動至最高點P時即朝x軸的正向，可見這段圓弧就是符合條件磁場的上邊界，見圖5。當電子速度方向與x軸正向成角度時，作出軌跡圖4，當電子達到磁場邊界時，速度方向必須平行於x軸方向，設邊界任一點的坐標爲，由圖4可知：

圖4
，消去參數得：

可以看出隨著的變化，S的軌跡是圓心爲（0，R），半徑爲R的圓，即是磁場區域的下邊界。
上下邊界就構成一個葉片形磁場區域。如圖5所示。則符合條件的磁場最小面積爲扇形面積減去等腰直角三角形面積的2倍。

圖5

三、帶電粒子在磁場中的運動例題
3．在如圖所示的平面直角坐標系xoy中，有一個圓形區域的勻強磁場（圖中未畫出），磁場方向垂直於xoy平面，O點爲該圓形區域邊界上的一點。現有一質量爲m，帶電量爲+q的帶電粒子（重力不計）從O點爲以初速度vo沿+x方向進入磁場，已知粒子經過y軸上p點時速度方向與+y方向夾角爲θ＝30º，OP=L 求：⑴磁感應強度的大小和方向 ⑵該圓形磁場區域的最小面積。



四．--穿越有界場的軌跡分析；
4．如圖所示，在y＜0區域內存在勻強磁場，方向垂直於XY平面並指向紙外，磁感應強度爲B，一帶正電的粒子從Y軸上的A點，以速度V₀與Y軸負半軸成夾角θ射出，進入磁場後，經磁場的偏轉最終又恰能通過A點，A點的坐標爲（0，a）．試問該粒子的比荷爲多少？從A點射出到再次經過A點共要多少時間
解析： ①
幾何關係 ②
在磁場中偏轉時間 ③
勻速運動的時間 ④
聯立①② 及③④分別可得
粒子的比荷
總時間
【益智演練】
1一個負離子，質量爲m，電量大小爲q，以速率v垂直於屏S經過小孔O射入存在著勻強磁場的真空室中，如圖3—51所示，磁感強度B的方向與離子的運動方向垂直，並垂直於紙面向里．
(1)求離子進入磁場後到達屏S上時的位置與O點的距離．
(2)如果離子進入磁場後經過時間t到達位置P，試證明：直線0P與離子入射方向之間的夾角θ跟t關係是







2(甘肅理綜)一勻磁場，磁場方向垂直於xy平面，在xy平面上，磁場分布在以O爲中心的一個圓形區域內。一個質量爲m、電荷量爲q的帶電粒子，由原點O開始運動，初速爲v，方向沿x正方向。後來，粒子經過y軸上的P點，此時速度方向與y軸的夾角爲30°，P到O的距離爲L，如圖所示。不計重力的影響。求磁場的磁感強度B的大小和xy平面上磁場區域的半徑R。
解：粒子在磁場中受各侖茲力作用，作勻速圓周運動，設其半徑爲r，
①

據此並由題意知，粒子在磁場中的軌跡的圓心C
必在y軸上，且P點在磁場區之外。過P沿速度方向作延長線，它與x軸相交
於Q點。作圓弧過O點與x軸相切，並且與PQ相切，切點A即
粒子離開磁場區的地點。這樣也求得圓弧軌跡的圓心C，如圖所示。
由圖中幾何關係得
L=3r ②
由①、②求得
③
圖中OA的長度即圓形磁場區的半徑R，由圖中幾何關係可得
④
3.設在地面上方的真空室內存在勻強電場和勻強磁場.已知電場強度和磁感應強度的方向是相同的,電場強度的大小E=4.0伏/米,磁感應強度的大小B=0.15特.今有一個帶負電的質點以v=20米/秒的速度在此區域內沿垂直場強方向做勻速直線運動,求此帶電質點的電量與質量之比q/m以及磁場的所有可能方向(角度可用反三角函數表示).
解：
根據帶電質點做勻速直線運動的條件,得知此帶電質點所受的重力、電場力和洛侖茲力的合力必定爲零.由此推知此三個力在同一豎直平面內,如右圖所示,質點的速度垂直紙面向外.

解法一:由合力爲零的條件,可得

求得帶電質點的電量與質量之比

因質點帶負電,電場方向與電場力方向相反,因而磁場方向也與電場力方向相反.設磁場方向與重力方向之間夾角爲θ,則有
qEsinθ=qvBcosθ,

即磁場是沿著與重力方向夾角θ=arctg0.75,且斜向下方的一切方向.
解法二:因質點帶負電,電場方向與電場力方向相反,因而磁碭方向也與電場力方向相反.設磁場方向與重力方向間夾角爲θ,由合力爲零的條件,可得
qEsinθ=qvBcosθ, ①
qEcosθ+qvBsinθ=mg, ②

即磁場是沿著與重力方向成夾角θ=arctg0.75,且斜向下方的一切方向
4.如圖所示，在x軸上方有垂直於xy平面向里的勻強磁場，磁感應強度爲B；在x軸下方有沿y軸負方向的勻強電場，場強爲E。一質量爲m，電量爲-q的粒子從坐標原點O沿著y軸正方向射出。射出之後，第三次到達x軸時，它與點O的距離爲L。求此粒子射出時的速度v和運動的總路程s（重力不計）。

解：粒子運動路線如圖示有

L＝4R ①
粒子初速度爲v，則有
qvB=mv²/R ②
由①、②式可算得
v=qBL/4m ③
設粒子進入電場作減速運動的最大路程爲l，加速度爲
a，v²=2al ④
qE=ma ⑤
粒子運動的總路程 s=2πR+2l ⑥
由①、②、④、⑤、⑥式，得s=πL/2+qB²L²/(16mE) ⑦
5．圖中虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側的半空間存在一磁感強度爲B的勻強磁場，方向垂直紙面向外是MN上的一點，從O點可以向磁場區域發射電量爲＋q、質量爲m 、速率爲的粒於，粒於射入磁場時的速度可在紙面內各個方向已知先後射人的兩個粒子恰好在磁場中給定的P點相遇，P到0的距離爲L不計重力及粒子間的相互作用
(1)求所考察的粒子在磁場中的軌道徑
(2)求這兩個粒子從O點射人磁場的時間間隔
解：（1）設粒子在磁場中作圓周運動的軌道半徑爲R，由牛頓第二定律，有
qvB=mv²/R 得R=mv/qB ①
（2）如圖所示，以OP爲弦可畫兩個半徑相同的圓，分別表示在P點相遇的兩個粒子的軌道。圓心和直徑分別爲 O₁、O₂和OO₁Q₁,OO₂Q₂,在0處兩個圓的切線分別表示兩個粒子的射入方向，用θ表示它們之間的夾角。由幾何關係可知
∠PO₁Q₁=∠PO₂Q₂θ ②
從0點射入到相遇，粒子1的路程爲半個圓周加弧長Q₁P
Q₁P＝Pθ ③
粒子2的路程爲半個圓周減弧長PQ₂=2
PQ₂=Rθ ④
粒子1運動的時間
t₁=(1/2T)+(Rθ/v) ⑤
其中T爲圓周運動的周期。粒子2運動的時間爲
t₂=(1/2T)-(Rθ/v) ⑥
兩粒子射入的時間間隔
△t=t₁-t₂=2Rθ/V ①
因 Rcos(θ/2) =1/2L
得 θ =2arccos (L/2R) ③
由①、①、③三式得
△t=4marccos(lqB/2mv)/qB

6.如圖所示，在y＞0的空間中存在勻強電場，場強沿y軸負方向；在y＜0的空間中，存在勻強磁場，磁場方向垂直xy平面（紙面）向外。一電量爲q、質量爲m的帶正電的運動粒子，經過y軸上y＝h處的點P₁時速率爲v₀，方向沿x軸正方向；然後，經過x軸上x＝2h處的 P₂點進入磁場，並經過y軸上y＝處的P₃點。不計重力。求
（l）電場強度的大小。
（2）粒子到達P₂時速度的大小和方向。
（3）磁感應強度的大小。
解：
（1）粒子在電場、磁場中運動的軌跡如圖所示。設粒子從P₁到P₂的時間爲t，電場強度的大小爲E，粒子在電場中的加速度爲a，由牛頓第二定律及運動學公式有
qE ＝ ma ①
v₀t ＝ 2h ②
③
由①、②、③式解得
④
（2）粒子到達P₂時速度沿x方向的分量仍爲v₀，以v₁表示速度沿y方向分量的大小，v表示速度的大小，θ表示速度和x軸的夾角，則有
⑤
⑥
⑦
由②、③、⑤式得
v₁＝v₀ ⑧
由⑥、⑦、⑧式得
⑨
⑩
（3）設磁場的磁感應強度爲B，在洛侖茲力作用下粒子做勻速圓周運動，由牛頓第二定律
⑾
r是圓周的半徑。此圓周與x軸和y軸的交點分別爲P₂、P₃。因爲OP₂＝OP₃，
θ＝45°，由幾何關係可知，連線P₂P₃爲圓軌道的直徑，由此可求得
r＝ ⑿
由⑨、⑾、⑿可得