求一道分離變量微分方程的通解

題目：

求一道分離變量微分方程的通解
xy'-ylny=0.由於是自學,沒老師教,沒地方問了,才來百度的.

解答：

xy'-ylny=0 → dy/dx=(ylny)/x → 分離變量得: dy/(ylny)=dx/x
→ d(lny)/lny=d(lnx) ※之所以得出這一步是因爲 d(lny)=dy/y ※
→ 兩邊積分得: ∫d(lny)/lny = ∫d(lnx)
→ ln|lny|=ln|x|+ln|C| ,C是任意不爲0的常數(取成ln|C|純粹是爲了最後表達方便)
→ 兩邊取指數得：lny=Cx
可以驗證,當C=0,即 y≡1 時,y=1也是微分方程xy'-ylny=0的一個解
綜上所述,微分方程的通解是：lny=Cx 也即 y=e^(Cx) ,C爲任意常數.
▲其實一階常微分方程的初等解法（包括分離變量法）是微分方程理論中最基礎也最簡單的內容,必須牢牢掌握!如果感覺閱讀這一部分內容有困難,請務必複習一下一元微積分的基礎知識!