設f(x) 在[a,b] 上連續,且f(x)>0.求證:∫(a,b)f(x)dx*∫(a,bdx/f(x)≥(b-a)^

題目：

設f(x) 在[a,b] 上連續,且f(x)>0.求證:∫(a,b)f(x)dx*∫(a,bdx/f(x)≥(b-a)^2.

解答：

證明 因爲f(x)>0,所以√f(x)>0,1/√f(x)>0.
因而∫(a,b)[t*√f(x)+1/√f(x)]^2dx≥0,t爲任意實數,
即∫(a,b)t^2*f(x)dx+2t∫(a,b)dx+∫(a,b)[dx/f(x)]≥0.
設A=∫(a,b)f(x)dx,B=∫(a,b)dx,C=∫(a,b)[dx/f(x)]
則上式爲:At^2+2Bt+C≥0,
這是關於t的二次三項式,且不小於零,故由判別式得:
A*C-B^2≥0,即
∫(a,b)f(x)dx*∫(a,b)[dx/f(x)]≥[∫(a,b)dx]^2=(a-b)^2.