已知函數f（x）=log

題目：

已知函數f（x）=log

解答：

由於f（x）=log₃
mx2+8x+n
x2+1的定義域爲R，∵x²+1＞0，故mx²+8x+n＞0恆成立．
令y=
mx2+8x+n
x2+1，由於函數f（x）的值域爲[0，2]，則 1≤y≤9，且（y-m）•x²-8x+y-n=0 成立．
由於x∈R，①若y-m≠0，∴方程的判別式△=64-4（y-m）（y-n）≥0，即 y²-（m+n）y+mn-16≤0．
∴y=1和y=9是方程 y²-（m+n）y+mn-16=0的兩個根，
∴m+n=10，mn-16=9，解得m=n=5．
②若y-m=0，即y=m=n=5 時，對應的x=0，符合條件．
綜上可得，m=n=5．

試題解析：

令y=

mx2+8x+n

x2+1

，則 1≤y≤9，且（y-m）•x²-8x+y-n=0 成立，故判別式△≥0，即 y²-（m+n）y+mn-16
≤0．再根據 y=1和y=9是方程 y²-（m+n）y+mn-16=0的兩個根，求出m、n的值．

名師點評：

本題考點： 對數函數的定義域；對數函數的值域與最值．
考點點評： 本題考查指數式與對數式的互化，一元二次方程根與係數的關係，屬於中檔題．