不定積分 tanx/3sinx+4cosx dx

題目：

不定積分 tanx/3sinx+4cosx dx

解答：

令u = tan(x/2),sinx = 2u/(1 + u²),cosx = (1 - u²)/(1 + u²),dx = 2du/(1 + u²)
∫ tanx/(3sinx + 4cosx) dx
= ∫ (sinx/cosx)/(3sinx + 4cosx) dx
= ∫ [2u/(1 - u²)]/[3 · 2u/(1 + u²) + 4 · (1 - u²)/(1 + u²)] · 2du/(1 + u²)
= ∫ 2u/(1 - u²)/[(6u - 4u² + 4)/(1 + u²)] · 2du/(1 + u²)
= ∫ 2u/(1 - u²) · (1 + u²)/(- 4u² + 6u + 4) · 2/(1 + u²) du
= ∫ 2u/[(1 - u²)(- 2u² + 3u + 2) du
= 2∫ u/[(u - 2)(2u + 1)(u + 1)(u - 1)] du