求下列不定積分:（1）：1/[x(x-1)]dx （2）：cos2x/(sinx+cosx)dx (3):(xe^x)/

題目：

求下列不定積分:（1）：1/[x(x-1)]dx （2）：cos2x/(sinx+cosx)dx (3):(xe^x)/根號下(e^x-1)dx

解答：

(1) ∫ 1/[x(x-1)]dx =∫ [1/(x-1)-1/x]dx=ln|x-1|-ln|x|+C=ln|(x-1)/x|+C
(2) ∫ cos2x/(sinx+cosx)dx=∫ (cos²x-sin²x)/(sinx+cosx)dx=∫ (cosx-sinx)dx=sinx+cosx+C
(3) 令 t=√(e^x-1),則x=ln(t²+1),dx=[2t/(t²+1)]dt
∫ (xe^x)/√(e^x-1)dx
= ∫ [(t²+1)ln(t²+1)/t][2t/(t²+1)]dt
= ∫2ln(t²+1)dt
=2[tln(t²+1)-2∫ t²/(t²+1)dt]
=2tln(t²+1)-4∫ [1-1/(t²+1)]dt
=2tln(t²+1)-4t+4arctant+C
=2x√(e^x-1)-4√(e^x-1)+4arctan√(e^x-1)+C