如圖,在梯形ABCD中AB=7,CD=1,AD=BC=5,點M,N分別在邊AD,BC上運動,並保持MN平行於AB,ME垂

題目：

如圖,在梯形ABCD中AB=7,CD=1,AD=BC=5,點M,N分別在邊AD,BC上運動,並保持MN平行於AB,ME垂直於AB,NF垂直
AB=7,CD=1,AD=BC=5,點M,N分別在邊AD,BC上運動,並保持MN平行於AB,ME垂直於AB,NF垂直於AB,垂足分別爲E,F
（1）求梯形ABCD的面積
（2）求四邊形MENF面積的最大值
（3）試判斷四邊形MEFN能否爲正方形,若能,求出正方形MEFN的面積

解答：

1、過點D作DP⊥AB,CQ⊥AB,分別交AB於P、Q
∵AD＝BC＝5,所以梯形ABCD爲等腰梯形
∴∠A＝∠B
∴所以△DAP全等於△CBQ
∴AP＝BQ
∵DP⊥AB,CQ⊥AB
∴四邊形BDQC爲矩形
∴PQ＝CD＝1
∵AP+PQ+BQ＝AB,AB＝7
∴2AP＝6
∴AP＝3
∵AD＝5
∴DP＝4
∴梯形ABCD面積S＝（1+7）×4÷2＝16
2、設ME高度爲X
∵DP⊥AB,ME⊥AB
∴ME∥DP
∴AE/ME＝AP/DP
∴AE＝3X/4
同理可得BF＝3X/4
∴EF＝AB-AE-BF＝7-3X/4-3X/4＝7-3X/2
∵MN∥AB
∴四邊形MEFN爲矩形
∴四邊形MEFN面積S＝ME×EF＝（7-3X/2）X＝7X-3X²/2＝-3/2（X-7/6）²+49/24
當X＝7/6時,四邊形MEFN面積最大爲49/24.
3、
當ME＝EF時,爲正方形
∵ME⊥AB,NF⊥AB且MN∥AB,ME＝EF
∴四邊形MEFN爲正方形
∴ME＝EF
∴X＝7-3X/2
X＝14/5
∴正方形MEFN的面積＝ME²＝（14/5）²＝196/25