劉老師,已知A=（a1,a2,a3,a4）是4階矩陣,a1,a2,a3,a4是4維列向量,若方程組Ax=b的通解是（1,

題目：

劉老師,
已知A=（a1,a2,a3,a4）是4階矩陣,a1,a2,a3,a4是4維列向量,若方程組Ax=b的通解是（1,2,2,1）T+k（1,-2,4,0）T,又B=（a3,a2,a1,b-a4）,求方程組Bx=a1-a2的通解.
像這種抽象的方程組求解一般想到的是求出Bx=a1-a2的一個解,然後再求Bx=0的基礎解系,但是實在是求不出B的秩,

解答：

特解（1,2,2,1）^T代入AX=b得到a1+2a2+2a3+a4=b（1）
通解（1,-2,4,0）^T代入AX=0得到a1-2a2+4a3=0（2）
Ax=b的基礎解系是1維的,所以A的秩是3,
（a1,a2,a3,a4）線性相關且秩爲3,再根據（2）式則知道a1,a2,a3兩兩必定線性無關,否則A的秩就是2了,
B=（a3,a2,a1,b-a4）,
根據（1）（2）發現a1,與b-a4可以有a3,a2線性表示,
而a3,a2線性無關,是一個極大無關組,因此B的秩就是2了