已知數學競賽出a、b、c三題，有25個學生參加競賽，每個學生至少解出一題，在沒有解出a題的學生中，解出b題的人數是解出c

題目：

已知數學競賽出a、b、c三題，有25個學生參加競賽，每個學生至少解出一題，在沒有解出a題的學生中，解出b題的人數是解出c題人數的2倍，只解出a題的人數比其餘解出a的人數多1，再解出一題的學生中只有一半不能解出a，求只解出b題的人數．

解答：

設解出a、b、c三題的學生的集合分別爲A、B、C，並用三個圓表示之，則重疊部分表示同時解出兩題或三題的學生的集合，其人數分別以x，y，z，d，e，f，g表示．
由於每個學生至少解出一題，故x+y+z+d+e+f+g=25①
由於沒有解出a題的學生中，解出b題的人數是解出c題的人數的2倍，故y+f=2（z+f）②
由於只解出a題的學生比餘下的學生中解出a題的學生的人數多1，故x=d+e+g+1③
由於只解出一題的學生中，有一半沒有解出a題，故x=y+z④
由②得：y=2z+f，f=y-2z⑤
以⑤代入①消去f得x+2y-z+d+e+g=25⑥
以③、④分別代入⑥得：2y-z+2d+2e+2g=24⑦
3y+d+e+g=25⑧
以2×⑧-⑦得：4y+z=26⑨
∵z≥0，∴4y≤26，y≤6.5．
利用⑤⑨消去c，得f=y-2（26-4y）=9y-52
∵f≥0，∴9y≥52．
∵y∈Z，
∴y=6．可以解出x=8，y=6，z=2，f=2，可以知道共有15位同學解出甲題，
但只解出b題的學生有6人．

試題解析：

設出解出a、b、c三題的學生的集合分別爲A、B、C，根據集合元素之間的關係，建立方程關係，進行推理即可得到結論．

名師點評：

本題考點： Venn圖表達集合的關係及運算．
考點點評： 本題主要考查集合關係的應用，利用文氏圖，建立方程關係是解決本題的關鍵．運算量較大，有一點的難度．