sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β這個公式怎麼證明 註：不要用積化和差或歐拉公式 最好用圖形說

題目：

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β這個公式怎麼證明 註：不要用積化和差或歐拉公式 最好用圖形說明

解答：

作單位圓O,∠AOB＝ß,∠BOC＝ạ,半徑OA＝OB＝OC＝R,
AD⊥OC於D,交OB於E,AF⊥OB於F,∠EAF=∠BOC=ạ
求證：sin(ạ+ß)=sinạcosß+sinßcosạ,
sin(ạ+ß)=(AE+ED)/R
∵AF/AE=cosạ,  AF=Rsinß,   ∴AE=AF/cosạ=Rsinß/cosạ,
∵ED=OEsinạ, OE=OF-EF, OF=Rcosß, EF=AEsinạ=Rsinạsinß/cosạ,
∴OE=OF-EF=Rcosß-Rsinạsinß/cosạ, 
ED=OEsinạ=(Rcosß-Rsinạsinß/cosạ)*sinạ=Rsinạcosß-Rsinạ²ạsinß/cosạ,
∴sin(ạ+ß)=(AE+ED)/R
        =(Rsinß/cosạ+Rsinạcosß-Rsinạ²ạsinß/cosạ)/R
        = sinß/cosạ+sinạcosß-sin²ạ sinß/cosạ 
              =sinạcosß+sinß/cosạ(1-sin²ạ)
             =sinạcosß+cosạ²sinß/cosạ
             =sinạcosß+sinßcosạ.