已知直線L:Y=k(X+2√2)與圓C:X^2+Y^2=4.若L與圓相交與A,B兩點,記△AOB的面積爲S,求函數S=f
題目:
已知直線L:Y=k(X+2√2)與圓C:X^2+Y^2=4.若L與圓相交與A,B兩點,記△AOB的面積爲S,求函數S=f(x)
求S最大值,並求此時K值.
解答:
X²+Y²=4① [圓心在原點,半徑爲2]
Y=k(X+2√2)② [過定點(-2√2,0)的一條直線]
解題思路:
聯立求解上述方程組,得到兩個含參數k的分別關於X和Y的一元二次方程,根據韋達定理得出x1+x2和y1+y2的含k表達式.其中(x1+x2)/2和(y1+y2)/2代表著AB的中點坐標,而這個中點到圓心[也是坐標原點]的距離L正好是等腰三角形AOB底邊AB上的高.同時可知圓的半徑R=2[由圓方程得之],也就是等腰三角形的腰爲2,這樣三角形底邊的一半[半弦長]可根據勾股定理求得:AB/2=√(4-L²).
所以得:S=L√(4-L²)
其中L是k的函數表達式.
至於求S的極值,關鍵要看具體表達式S=L√(4-L²)的複雜程度了,如果比較簡單,可能直接就可得出極值點,否則就要用到高三的導數方法了[既然是高一的題目,想必不會出現這種情形的].
具體解法自己做吧.
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