已知P爲三角形ABC所在平面內一點,且向量AP+2向量BP+3向量CP=向量0.延長AP交BC於點D,

題目：

已知P爲三角形ABC所在平面內一點,且向量AP+2向量BP+3向量CP=向量0.延長AP交BC於點D,
若向量AB=向量a,向量AC=向量b.（1）用向量a、向量b表示向量AP、向量AD,(2)根據以上結果,填空S三角形PAB:S三角形PBC:S三角形PAC=---:-----:----

解答：

(1)向量AP+2向量BP+3向量CP=向量0.
根據向量的減法可知：向量AP+2向量(AP-AB)+3向量(AP-AC)=向量0.
即6AP-2AB-3AC=0,
向量AP=1/3AB+1/2AC=1/3a+1/2b.
向量AD與向量AP共線,所以存在唯一實數m,使得
向量AD=m向量AP=m(1/3a+1/2b)= 1/3ma+1/2mb.
向量BD與向量BC共線,所以存在唯一實數n,使得
向量BD=n向量BC=n(AC-AB)=n(b-a),
又向量AD=AB+BD=a+ n(b-a)=(1-n)a+nb.
綜上可知；向量AD=1/3ma+1/2mb=(1-n)a+nb.
所以1/3m=(1-n),1/2m=n,
解得m=6/5,n=3/5.
所以向量AD=1/3ma+1/2mb=2/5a+3/5b.
(2)由(1)可知：向量BD=3/5向量BC, 向量AD=6/5向量AP.
所以△PBD與△PDC的高相同,底邊BD與DC的比是3:2,
所以二者的面積比是3:2,
設△PBD的面積是3S, 則△PDC的面積是2S.
△PBD與△ABP的高相同,底邊PD與AP的比是1:5,
所以△ABP的面積是15S.
△PDC與△ACP的高相同,底邊PD與AP的比是1:5,
所以△ABP的面積是10S.
∴S三角形PAB:S三角形PBC:S三角形PAC=15S:5S:10S=3:1:2.