求線性代數矩陣的值已知3階矩陣A的特徵值爲－1,1,2,設B=A^2+2A-E,求（1）矩陣A的行列式及A的秩.（2）矩

題目：

求線性代數矩陣的值
已知3階矩陣A的特徵值爲－1,1,2,設B=A^2+2A-E,求（1）矩陣A的行列式及A的秩.（2）矩陣B的特徵值及與B相似的對角矩陣.

解答：

① 由矩陣行列式值等於其特徵值之積：
|A|=λ1*λ2*...*λn= -1× 1 ×2= -2
由矩陣A的行列式|A|≠0（或者由A有三個不等的特徵值）,矩陣A滿秩,故秩 r=3；
② 爲了表示上的方便,記矩陣P的逆矩陣爲P'：
設 A=P∧P',其中∧爲由-1、1、2構成的對角陣,則A∽∧
由題:
B=(P∧P')(P∧P') + 2P∧P' - E
=P∧P'P∧P' + 2P∧P' - E
=P∧∧P' + 2P∧P' - E
=P∧²P' + 2P∧P' - PP'
=P(∧² + 2∧ - E)P'
若命C=∧² + 2∧ - E,則：B=PCP',顯然由PP'=E及矩陣性質知 B與∧² + 2∧ - E有相同的特徵值
再由於當∧的特徵值爲λ時,∧² + 2∧ - E的特徵值爲 λ² + 2λ -1知：
B的特徵值爲：(-1)²+2×(-1)-1= -2 1²+2×1-1= 2 2²+2×2-1= 7
由上述推導知,B ∽ ∧*,且此處∧*=
-2 0 0
0 2 0
0 0 7