;四邊形ABCD內接於以BC爲直徑的圓,圓心爲O,且AB=AD,延長CB,DA交於P,過C點作PD的垂線交PD的延長線於

題目：

;四邊形ABCD內接於以BC爲直徑的圓,圓心爲O,且AB=AD,延長CB,DA交於P,過C點作PD的垂線交PD的延長線於E,且PB=BO,連結OA
求1.線段BC：DC的值
2.若CD=18,求DE的長

解答：

第一個問題：
∵∠AOB、∠ACB分別是⊙O的圓心角、圓周角,∴∠AOB＝2∠ACB.
∵AB＝AD,∴∠ACB＝∠ACD,∴∠DCB＝2∠ACB.
由∠AOB＝2∠ACB、∠DCB＝2∠ACB,得：∠AOB＝∠DCB,∴AO∥DC,
∴PA/AD＝PO/CO,又PB＝BO＝CO,∴PA/AD＝（PB＋BO）/CO＝2,∴PA＝2AD＝2AB.
∵ABCD是圓內接四邊形,∴∠PAB＝∠PCD,又∠P＝∠P,∴△PAB∽△PCD,
∴PA/PC＝AB/DC,∴2AB/（PB＋BC）＝AB/DC,∴2/（BO＋BC）＝1/DC,
∴2/（BC/2＋BC）＝1/DC,∴4/（3BC）＝1/DC,∴BC∶DC＝4∶3.
第二個問題：
令AC與BD相交於F.
∵BC是⊙O的直徑,∴∠BAC＝∠FDC＝90°,又∠ACB＝∠DCF,∴∠ABC＝∠DFC.
∵ABCD是圓內接四邊形,∴∠ABC＝∠EDC.
由∠ABC＝∠DFC、∠ABC＝∠EDC,得：∠DFC＝∠EDC,又∠FDC＝∠DEC＝90°,
∴△FDC∽△DEC,∴DF/DE＝FC/DC,∴DE＝DF×DC/FC.
∵CD＝18、BC∶DC＝4∶3,∴BC＝24,∴BD＝√（BC^2－DC^2）＝√（24^2－18^2）＝6√7.
∵∠ACB＝∠ACD,∴由三角形內角平分線定理,有：
DF/（BD－DF）＝DC/BC＝3/4,∴4DF＝3（6√7－DF）,∴7DF＝18√7,∴DF＝18/√7.
∴FC＝√（DF^2＋DC^2）＝√（18^2/7＋18^2）＝18√（1/7＋1）＝36√2/√7.
∴DE＝DF×DC/FC＝（18/√7）×18/（36√2/√7）＝18/（2√2）＝9√2/2.