已知x+y+z=1,求3x^2+4y^2+5z^2的最值

題目：

已知x+y+z=1,求3x^2+4y^2+5z^2的最值
..詳解...謝
三樓能再講清楚點不
沒看懂...我智商

解答：

我是三樓那個..
先說如果沒有x,y,z非負的條件,就沒有最大值..若有條件,最大就是5..
考慮最小值..(沒有x,y,z非負限制)..
3x^2+1200/2209≥(120/47)x,
4y^2+900/2209≥(120/47)y,
5z^2+720/2209≥(120/47)z,
由x+y+z=1,(3x^2+1200/2209)+(4y^2+900/2209)+(5z^2+720/2209)≥(120/47)(x+y+z)=120/47,
則3x^2+4y^2+5z^2≥120/47-1200/2209-900/2209-720/2209=60/47,若且唯若x=20/47,y=15/47,z=12/47時取到..
∴最小值60/47,無最大值.
這裡的數是這樣..
爲了湊出三組a^2+b^2≥2ab的形式,由於已知條件是x+y+z=1,所以要求配出的x,y,z的係數相等..
由x^2,y^2,z^2的係數是3:4:5,所以先配上20,15,12,
也就是:
3x^2+20≥4(根號下15)x,
4y^2+15≥4(根號下15)y,
5z^2+12≥4(根號下15)z,
第一步保證了可以製造不等式後求值,
第二步,要能取等,必須使得每個不等式都取到等號:
上面三個不等式同時取等時,
x=2/3(根號下15),y=1/2(根號下15),z=2/5(根號下15),
這樣,x+y+z=47/30(根號下15),
爲使得x+y+z=1,需要乘以係數2/47(根號下15),
即x=20/47,y=15/47,z=12/47,
這樣,三個不等式變成了:
3x^2+1200/2209≥(120/47)x,
4y^2+900/2209≥(120/47)y,
5z^2+720/2209≥(120/47)z,
即有了上面的過程..