數學函數問題（請附帶詳細過程）

題目：

數學函數問題（請附帶詳細過程）

y=ax^2+2x的對稱軸爲X=3,且與X軸交於點B、O

連接AB,將其平移使其經過原點O,得到直線L,點P爲直線L上的一動點.設以A,B,O,P爲頂點的四邊形面積爲S,點P的橫坐標爲t,當S小於等於18大於0時,求t的取值範圍.

在（1）的條件下,當t取最大值時,拋物線上是否存在一點Q,使△OPQ爲直角三角形且OP爲直角邊,若存在請直接寫出Q的坐標,若不存在請說明理由.

解答：

答：不知道點A在哪裡,姑且認爲點A是拋物線的頂點.
（1）y=ax^2+2x的對稱軸x=-2/(2a)=3,a=-1/3；y=-x^2/3+2x.
拋物線交於x軸的點B（6,0）,點O（0,0）,頂點A（3,3）.
直線AB的斜率爲KAB=(3-0)/(3-6)=-1,直線AB爲：y=-x+3
直線L//AB並且過原點,所以直線L即OP爲：y=-x；設點P爲（t,-t）.
OA斜率KOA=(3-0)/(3-0)=1,OA=AB=3√2,OB=6.
所以：OA⊥OP,OA⊥AB
1.1）當點P在第二象限時,t0,四邊形APOP的面積S：
S=S三角形OPB+S三角形ABO
=OB*點P到x軸距離/2+OA*AB/2
=6*t/2+(3√2)^2/2
=3t+9
綜上所述：S=3|t|+9
再問： sorry，忘記附圖了，我提高懸賞
再答： 答：題目描述也存在問題，根據圖來看，拋物線與x軸交點應是A和O，不是B和O。 （1）y=ax^2+2x的對稱軸x=-2/(2a)=3，a=-1/3；y=-x^2/3+2x。 拋物線交於x軸的點A（6,0），點O（0,0），頂點B（3,3）。 直線AB的斜率爲KAB=(3-0)/(3-6)=-1，直線AB爲：y=-x+3 直線L//AB並且過原點，所以直線L即OP爲：y=-x；設點P爲（t，-t）。 OB斜率KOB=(3-0)/(3-0)=1，OB=AB=3√2，OA=6。 所以：OB⊥OP，OB⊥AB 1.1）當點P在第二象限時，t0，四邊形APOP的面積S： S=S三角形OPA+S三角形ABO =OA*點P到x軸距離/2+OB*AB/2 =6*t/2+(3√2)^2/2 =3t+9 綜上所述：S=3|t|+9