如圖,已知直線PA交圓O於A、B兩點,AE是圓O的直徑,點C爲圓O上一點,且AC平分∠PAE,過C作CD⊥PA,垂足爲D

題目：

如圖,已知直線PA交圓O於A、B兩點,AE是圓O的直徑,點C爲圓O上一點,且AC平分∠PAE,過C作CD⊥PA,垂足爲D,若DC+DA=6,圓O的直徑爲10,求AB的長度.

解答：

設DA=X,DC=6-DA=6-X,
連接EC,AE是直徑,所以∠ACE=90°=∠CDA,∠CAE=∠CAD,
所以⊿ACE∽⊿ADC,[AA]
AE:AC=AC:AD
AC²=AE*AD
AD²+DC²=10*X
X²+(6-X)²=10X
X²-11X+18=0
(X-2)(X-9)=0
X1=2,X2=9>6(捨去)；
DA=X=2,DC=6-X=4;
AC²=2²+4²=20
AC=√20
CE²=AE²-AC²=10²-20=80
CE=√80=2√20;
連接EB,∠EBA=90°,EB//CD;
EC的延長線交PB於Q,∠QCD+∠ACD=90°,∠QCD=∠CAD,
⊿QDC∽⊿CDA,[AA]
QC:AC=DC:DA
QC=4*√20/2=2√20=CE=QE/2,
CD:BE=1：2
BE=2CD=2*4=8;
AB²=AE²-BE²=10²-8²=100-64=36
AB=6;