某種商品每件進價12元，售價20元，每天可賣出48件．若售價降低，銷售量可以增加，且售價降低x（0≤x≤8）元時，每天多

題目：

某種商品每件進價12元，售價20元，每天可賣出48件．若售價降低，銷售量可以增加，且售價降低x（0≤x≤8）元時，每天多賣出的件數與x²+x成正比．已知商品售價降低3元時，一天可多賣出36件．
（1）試將該商品一天的銷售利潤表示成x的函數；
（2）該商品售價爲多少元時一天的銷售利潤最大？

解答：

（1）由題意可設，每天多賣出的件數爲k（x²+x），∴36=k（3²+3），∴k=3
又每件商品的利潤爲（20-12-x）元，每天賣出的商品件數爲48+3（x²+x）
∴該商品一天的銷售利潤爲f（x）=（8-x）[48+3（x²+x）]=-3x³+21x²-24x+384（0≤x≤8）
（2）由f'（x）=-9x²+42x-24=-3（x-4）（3x-2）
令f'（x）=0可得x＝
2
3或x=4
當x變化時，f'（x）、f（x）的變化情況如下表：
0 4 8
- 0 + 0 -
384 ↘ 極小值 ↗ 極大值432 ↘ 0∴當商品售價爲16元時，一天銷售利潤最大，最大值爲432元

試題解析：

（1）確定每件商品的利潤，每天賣出的商品件數，即可求得該商品一天的銷售利潤表示成x的函數；
（2）求導函數，確定函數的極值，從而可得最大利潤．

名師點評：

本題考點： 函數最值的應用．
考點點評： 本題考查函數模型的構建，考查導數知識的運用，解題的關鍵是確定函數的解析式．