【高賞】求證對任意正整數s,必存在一個正整數t,使得 他們的積 st 在十進位的表示中只含有0 和7 兩個數字

題目：

【高賞】求證對任意正整數s,必存在一個正整數t,使得 他們的積 st 在十進位的表示中只含有0 和7 兩個數字
答對絕對採納.只採納嚴謹的回答.不會的別來,樓主有能力鑑別.
我的思路是想先證明 存在t,一定能只含有0和1,那再乘個7 就行了.0 和 1 畢竟方便,因爲0*0=0,1*1=1.但是具體怎麼證還欠缺一步,求教.

解答：

不妨設s不含2和5的因子,因爲這些都是可以通過乘2乘5變成0的,不影響證明.目標是找由0和1組成的整數,整除s.
如果s不含2和5的因子,則s和10是互素的.那麼根據歐拉定理,設b(s)是s的歐拉函數,就是小於s的正整數中與s互素的個數.則10^b(s)除以s餘1.易知,對任意正整數k,10^{kb}除以s餘1.現在取m充分大,使得10^{mb}>s.則1+10^{mb}+10^{2mb}+...+10^{(b-1)mb}能夠整除s,而且只有0或者1組成.