函數項級數和數項級數的區別

題目：

函數項級數和數項級數的區別
明天就要考數分了.儘量通俗一些,
那他們的性質還一樣嗎?就是判定的那些條件...

解答：

舉個例子吧
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...
1 - (1/2)x + (1/3)x^2 - (1/4)x^4 + (1/5)x^5 - ...
下面做一對比,對比的內容是一一對應的,希望你認真看一下,
第一個是數項級數.
（1）它的通項是個「數」,即an=[(-1)^(n-1)]/n.
（2）它的斂散性是確定的,因爲這裡面都是「數」,沒有變量,所以最後結果要麼收斂,要麼發散,是確定的,兩者只能取其一.
（3）對於數項級數,考試的題目只有一句話,「判斷這個級數是收斂還是發散?」,原因就是上面說的,它的斂散性是確定的,你要做的是判斷出它到底收斂還是發散!
（4）解題步驟一般是：
先判斷通項極限是不是爲0,如果不是則直接寫發散；如果是,再判斷是正項級數還是交錯級數（我舉得例子是交錯級數）,如果是正項級數,用比值審斂法,比較審斂法等判斷,如果是交錯級數,用萊布尼茲審斂法判斷.本題用萊布尼茲審斂法,交錯級數的通項遞減且趨於0,所以收斂.
第二個是函數項級數
（1）它的通項是個函數,說白了就是通項里含有變量x,即an=[(-x)^(n-1)]/n.
（2）它的斂散性是不確定的,因爲x取不同的值的時候,他就是不同的數項級數,（比如x=1就和第一個例子的級數一樣,x=2就又變成另一個級數了）.這些不同的數項級數有的發散有的收斂.取決於x取什麼值.
（3）對於函數項級數,考試的題目一般是,「求這個函數項級數的收斂域和收斂區間」,說白了就是問你：「x取什麼值的時候,這個級數收斂,x取什麼值的時候,這個級數發散?」
（4）解題步驟一般是：
先算出收斂半徑,（比如我舉得例子,算出收斂半徑是1）,那就是說,這個函數項級數在±1之內都是收斂的,比如x=0.9代入,肯定收斂的；而在±1之外是發散的,比如x=1.1代入,肯定是發散的.但是端點-1和+1的情況還不知道,需要另外判斷.方法就是直接代入-1和+1,變成兩個數項級數來判斷.最終得到,-1時發散,而+1時收斂.所以最終考卷上寫：x屬於(-1,1]時,收斂.