蝴蝶定理怎麼證明蝴蝶定理 內容 證明

題目：

蝴蝶定理怎麼證明
蝴蝶定理 內容 證明

解答：

蝴蝶定理
蝴蝶定理

蝴蝶定理最先是作爲一個徵求證明的問題,刊載於1815年的一份通俗雜誌《男士日記》上.由於其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶,便以此命名,定理內容：圓O中的弦PQ的中點M,任作兩弦AB,CD,弦AD與BC分別交PQ於X,Y,則M爲XY之中點.
出現過許多優美奇特的解法,其中最早的,應首推霍納在職815年所給出的證法.至於初等數學的證法,在國外資料中,一般都認爲是由一位中學教師斯特溫首先提出的,它給予出的是面積證法,其中應用了面積公式：S=1/2 BCSINA.1985年,在河南省《數學教師》創刊號上,杜錫錄同志以《平面幾何中的名題及其妙解》爲題,載文向國內介紹蝴蝶定理,從此蝴蝶定理在神州大地到處傳開.
這裡介紹一種較爲簡便的初等數學證法.
證明：過圓心O作AD與B牟垂線,垂足爲S、T,連接OX,OY,OM.SM.MT.
∵△SMD∽△CMB,且SD=1/2ADBT=1/2BC,
∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B
∴△MSD∽△MTB,∠MSD=∠MTB
∴∠MSX=∠MTY；又∵O,S,X,M與O,T.Y.M均是四點共圓,
∴∠XOM=∠YOM
∵OM⊥PQ∴XM=YM
如圖1,橢圓的長軸A1A2與x軸平行,短軸B1B2在y軸上,中心爲M（o,r）（b＞r＞0）.
（Ⅰ）寫出橢圓的方程,求橢圓的焦點坐標及離心率；
（Ⅱ）直線y=kx交橢圓於兩點C（x1,y1）,D(x2,y2)（y2＞0）；直線y=k2x交橢圓於兩點G（x3,y3）,H（x4,y4）（y4＞0）.
求證：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)
（Ⅲ）對於（Ⅱ）中的C,D,G,H,設CH交X軸於點P,GD交X軸於點Q.
求證： | OP | = | OQ |.
（證明過程不考慮CH或GD垂直於X軸的情形）
2．北京教育考試院招生考試辦公室專家在公布的《2003年全國普通高等學校招生統一考試試題答案彙編》中給出的參考解答如下：
（18）本小題主要考查直線與橢圓的基本知識,考查分析問題和解決問題的能力.滿分15分.
（Ⅰ）橢圓方程爲x2/a2+(y-r)2/b2=1
焦點坐標爲
（Ⅱ）證明：將直線CD的方程y=kx代入橢圓方程,得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2,
整理,得
(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0
根據韋達定理,得
x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12), x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12),
所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①
將直線GH的方程y=k2x代入橢圓方程,同理可得
x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②
由①,②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)
所以結論成立.

（Ⅲ）證明：設點P（p,o）,點Q（q,o）.
由C,P,H共線,得
(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4
解得P=(k1-k2)x2x4/(k1x1-k2x4)
由D,Q,G共線,同理可得
q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)
由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4),變形得：

x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)
即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)
所以 |p|=|q|,即,|OP|=|OQ|.
3．簡評
本小題主要考查直線與橢圓等基本知識,考查分析問題和解決問題的能力.試題入門容易,第（Ⅰ）問考查橢圓方程、待定係數法、坐標平移和橢圓性質：焦點坐標、離心率、看圖說話即可解決問題,但考查的卻都是重點內容.
第（Ⅱ）問是典型的直線與橢圓的位置關係問題.待證式子中含有x1x2,x1+x2,x3x4,x3+x4這樣的對稱式,式子結構對稱優美,和諧平衡,使人很容易聯想起一元二次方程根與係數關係的韋達定理,啓示了證明問題的思路.這裡用到了解析幾何最根本的思想和最根本的方法.解兩個聯立的二元二次方程組,用代入消元法得到一元二次方程,分離係數利用韋達定理給出關於x1x2,x1+x2,x3x4,x3+x4的表達式,再分別代入待證式兩邊運算即達到證明目的.證明的過程中,由兩個聯立方程組結構的相似性運用了「同理可得」,整個證明過程也令人賞心悅目,感受到了邏輯證明與表達的順暢、簡約的美的魅力.
第（Ⅲ）問證明中用到了三點共線的充要條件,用到了過兩點的直線的斜率公式,分別解出p,q以後,|OP|=|OQ|等價轉化成了p= -q（或p+q=0.）此時分析前提條件（Ⅱ）及待證結論p= -q,關鍵在於溝通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)與x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的聯繫.參考解答中的表述略去了一些變形的中間過程,使人不易看出溝通的線索,以及命題人變形的思路,因此讀者理解起來感到困難.如果將兩式做如下變形,則思路就顯然順暢自然.
設：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)爲①式,兩邊同取倒數,得
1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①』
設：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)爲 ②式,兩邊同取倒數,得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3,移項得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②』
將①』兩邊同乘以k1·k2,即得
k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4
它與②』完全一樣.這裡利用兩式同時變形的方法可以較容易實現目的,有分析、有綜合,有思維,有運算.思路的選擇有賴於對式子特徵的觀察聯想.
綜觀這道題的題目特徵及解答過程,我們看到了用代數方程但方法處理幾何問題的作用與威力.
4．賞析：
上面我們看到,試題的結構及其解答都令人感到賞心悅目,至此,我們不禁要追問一句：試題是怎麼命制出來的?它的背景是什麼?它對我們的數學學習與教學、高三複習與備考有什麼啓示?
關於圓,有一個有趣的定理：
蝴蝶定理 設AB是圓O的弦,M是AB的中點.過M作圓O的兩弦CD、EF,CF、DE分別交AB於H、G.則MH=MG.
這個定理畫出來的幾何圖,很像一隻翩翩飛舞的蝴蝶,所以叫做蝴蝶定理（圖2）.
盯著試題的圖1仔細看,它像不像橢圓上翩翩飛舞的蝴蝶?
像,而且像極了.試題的證明過程及結果告訴我們,橢圓中蝴蝶定理依然成立,而且是用解析方法證明的.如果令橢圓的長軸,短軸相等,即a=b,則橢圓就變成了圓,橢圓中的蝴蝶定理就變成了圓上的蝴蝶定理,上面的證明一樣適用.由於橢圓也可以看作將一個圓經「壓縮變換」而得,故圓上的蝴蝶定理經「壓縮變換」也可以變成橢圓上的蝴蝶定理.「翩翩蝴蝶舞橢圓,飛落高考數學花.」讀者諸君欣賞至此,是否體會到了數學命題幾何專家命制高考試題的「高招」及良苦用心?
[關於「橢圓上的蝴蝶」,張景中院士在其獻給中學生的禮物一書《數學家的眼光》「巧思妙解」一節中有著精妙的論述,有興趣的讀者請參閱該書P54-59].
5．啓示
橢圓上的蝴蝶翩翩飛舞,飛落到了北京數學高考試題的百花（草）園,令人欣喜異常.它雖然有著競賽數學、仿射變換、數學名題的背景,然而這裡證明它,卻只用到了教科書里反覆提到的三點共線問題和斜率公式,用到了解析幾何最基本的方法.高級中學課本《平面解析幾何》全一冊（必修）數處提到三點共線問題,如P13習題一第14題：已知三點A（1,-1）、B（3,3）、C（4,5）.求證：三點在一條直線上：P17練習4：證明：已知三點A、B、C,如果直線AB、AC的斜率相等,那麼這三點在同一條直線上；P27習題二第9題：證明三點A（1,3）、B（5,7）、C（10,12）在同一條直線上；P47複習參考題一第3題：用兩種方法證明：三點A（-2,12）、B（1,3）、C（4,-6）在同一條直線上.你看,課本上的練習、習題、複習參考題,反覆提到了三點共線的證明,並且強調用不同的方法來證明.爲什麼?你（老師、學生）關注到了它嗎?
實際上,三點共線的不同證明,可以把解析幾何第一章的重點基礎知識充分調動起來,組織起來.你可以用基本公式——平面上兩點間的距離公式
證明｜AC｜=｜AB∣+∣BC∣；你也可以應用定比分點公式x=（x1+λx2）/（1+λ）,y=（y1+λy2）/（1+λ）去證λ=（x1-x）/（x-x2）=（y1-y）/（y-y2）；你可以用過兩點的直線的斜率公式Kp1p2=（y2-y1）/（x2-x1）,去證KAB=KAC；你還可以先建立直線AB的方程f(x,y)=0,然後驗證點C的坐標適合直線AB的方程即f(x,y)=0；你也可以在建立直線AB的方程之後,利用點到直線的距離公式
證明dc-AB=0；你還可以計算△ABC的面積,去證S△ABC=0.你看,有五、六種方法可以解決同一個問題,當然難度有高有低.一題多解中選擇方法、優化方法也是能力（洞察、觀察）的體現,從比較中才可以鑑別方法的優劣.據說考試下來,有一些重點中學的尖子生對自己沒能解答出第（Ⅲ）問很懊悔,一些老師也說這個題目「運算量太大難以完成」!不知讀者諸君欣賞至此,能不能發現上述問題的癥結究竟發生在哪裡?北京市有許多重點中學的師生,對高中數學課本的習題不屑一顧,很少去鑽研教材中的例題、習題,去尋求與發現知識之間的內在聯繫,去總結解題的原則、思路與規律.各種各樣的複習資料,幾十套幾十套的各地模擬試卷,使高三學生跳進題海做得昏天黑地而難以自拔,這哪裡還談得上素質教育與培養能力?我們應當從欣賞「翩翩飛舞的橢圓蝴蝶」中去用心體會「精選題目充分利用題目的「營養」價值」在數學教學與複習中的重要作用,從而解放思想,勇敢大膽地摒棄「題海戰術」.而要使學生跳出題海,老師就必須首先跳入題海,「題海探珠」,感悟數學教育改革的真諦.——注重基礎、注重理解、注重聯繫、注重能力.