求一類《近世代數》題目的答案,請至少給出一道詳解過程,說明用到的知識點,好讓我學會能解答類似題目.

題目：

求一類《近世代數》題目的答案,請至少給出一道詳解過程,說明用到的知識點,好讓我學會能解答類似題目.

解答：

這些全都是代數擴張,只要知道極小多項式的次數就行了.
先給答案
1.Q([2i+1]/[i-1])=Q(i)={a+ib|a,b \in Q}
2.Q(\sqrt{3},\sqrt{5})={a+\sqrt{3}b+\sqrt{5}c+\sqrt{15}d|a,b,c,d \in Q}
3.Q(\sqrt{2}+\sqrt{5})={a+\sqrt{2}b+\sqrt{5}c+\sqrt{10}d|a,b,c,d \in Q}
4.Q(\sqrt{2}+i)={a+\sqrt{2}b+ic+\sqrt{2}id|a,b,c,d \in Q}
5.Q(3i)=Q(i)={a+ib|a,b \in Q}
注意Q(x)是包含Q和x的最小的域,這裡本質上是把這個域構造出來,然後驗證這個確實是最小的.由於這裡x都是代數數,如果其極小多項式的次數是n的話
Q(x)={a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1} | a_i \in Q}.
利用加法和乘法的封閉性可以知道右端這些數至少都要包含在Q(x)里,然後驗證一下除法確實是封閉的就行了,這個你自己要會算.
1和5本質一樣的,[2i+1]/[i-1]和3i都是有理複數,所以其實就是Q(i)={a+ib|a,b \in Q},這個如果不會問題就大了.換一個角度看就是說[2i+1]/[i-1]和3i都滿足有理係數的2次多項式,寫成Q(i)相當於是簡化後的結果.
3和4的本質一樣,但是比1和5略微複雜一點,因爲\sqrt{2}+\sqrt{5}和\sqrt{2}+i的極小多項式都是4次的,我給的答案可以看作經過化簡後的結果.
至於Q(\sqrt{3},\sqrt{5}),這個不是單擴張,不過可以用兩次單擴張來完成,也就是說先做F=Q(\sqrt{3}),然後再做F(\sqrt{5}),同樣,我給出的答案可以看作經過化簡後的結果.
上面這些最麻煩的一定要會,然後才可以偷懶.這裡2,3,4的形式是一樣的,主要是因爲\sqrt{a}和\sqrt{b}在有理數域上線性無關的時候可以預先估計出答案的形式,你最好自己動手,這樣才能理解.
另外,如果碰到超越擴張的話,比如說Q(e),那麼形式上就是有理函數而不是有限次多項式,即
Q(e) = {p(e)/q(e) | p,q是有理係數多項式,q非零}.