a,b兩個數互質 且a*b是一個完全平方數 如何證明a和b都是完全平方數?

題目：

a,b兩個數互質 且a*b是一個完全平方數 如何證明a和b都是完全平方數?

解答：

方法一：
設ab=u²
由於(a,b)=1,所以a=a(a,b)=(a²,ab)=(a²,u²)=(a,u)²
同理b=(b,u)².證畢.
方法二：
可設a=m²*a1,b=n²*b1,其中a1,b1不被任何質數平方整除.由於(a,b)=1,所以(a1,b1)=1.設ab=u²,則ab=(mn)²*a1*b1=u²,
a1*b1=(u/mn)²=t²,下面證明t=1.
若t>1,則有質數p|t,從而p²|t²=a1*b1,即得p至少整除a1,b1中的一個,又因爲a1,b1不被質數平方整除,於是p|a1且p|b1,但這與a1,b1互質矛盾.故t=a1=b1=1,這就證明了a=m²,b=n².證畢.
方法三：用算術基本定理更簡單直接.這裡不好打那些符號,你自己做吧.