已知:a+b+c=0,求證:(1) a^3+a^2c+b^2c+b^3=abc (2) a^4+b^4+c^4=2a^2

題目：

已知:a+b+c=0,求證:(1) a^3+a^2c+b^2c+b^3=abc (2) a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2

解答：

（1）
原式可化爲a^3+a^2c+b^2c+b^3-abc=0
a^3+a^2c+b^2c-abc+b^3
=a^2(a+c)+b^2(b+c)-abc
=a^2(-b)+b^2(-a)-abc （-b=a+c -a=b+c）
=-ab(a+b+c)
=0（因爲a+b+c=0）
（2）
原式可化爲2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4=0
2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4
=-(2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2+a^4+b^4+c^4)+4a^2b^2 (套用3項的完全平方公式)
=-(a^2+b^2-c^2)^2+4a^2b^2
=-(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2) (平方差公式)
=-[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] (平方差公式)
=-(a+b+c)(a+b-c)(c-a+b)(c+a-b)
=0