設f（x）在（0~正無窮）有定義,且f '(1)=1,對任意x,y,恆有f（xy）=yf(x)+f(y),求 f(x)?

題目：

設f（x）在（0~正無窮）有定義,且f '(1)=1,對任意x,y,恆有f（xy）=yf(x)+f(y),求 f(x)?

解答：

對任意x,y,恆有f（xy）=yf(x)+f(y),則令y=1代入得：
f(x)=f(x)+f(1)
得到：f(1)=0
對f（xy）=yf(x)+f(y),兩邊求關於y的導,可得：xf'(xy)=f(x)+f'(y)
令y=1可得：
xf'(x)=f(x)+1
可得：f'(x)=[f(x)+1 ]/x……（1）
根據概念f'(x)=[f(x)—f(1)]/(x—1)=f（x）/(x-1)……（2）
聯立（1）（2）可得：f(x)=x-1