使不等式1n+1+1n+2+…  +12n+1＜a−200713

題目：

使不等式

解答：

設：a_n=
1
n+1+
1
n+2+…  +
1
2n+1，
a_n+1=
1
n+2+
1
n+3+…  +
1
2n+3，
a_n+1-a_n=
1
2n+2+
1
2n+3−
1
n+1＜0
所以{a_n}對於n爲正整數時爲單調遞減數列，
使不等式
1
n+1+
1
n+2+…  +
1
2n+1＜a−2007
1
3對一切正整數n都成立的最小正整數a的值，
就是n=1時，a＞2007
1
3+
1
2+
1
3=2008+
1
6成立的最小整數．即2009．
故答案爲：2009．

試題解析：

不等式的左側設爲a_n，構造數列{an}通過證明數列是遞減數列，求出使不等式成立的最小正整數a的值．

名師點評：

本題考點： 數列與不等式的綜合；數列的極限．
考點點評： 本題是中檔題，考查數列與不等式的關係，考查構造法解題，已經函數的單調性等有關知識．