證明實對稱矩陣與對角矩陣相似

題目：

證明實對稱矩陣與對角矩陣相似
矩陣爲：第一行：2 1/n 1/n 1/n…… 1/n
第二行：1/n 4 1/n 1/n…… 1/n
..
.
.
第n行：1/n 1/n 1/n 1/n ……2n
如何證明此矩陣與對角矩陣相似?

解答：

求此矩陣的特徵多項式 |A-λE| 比較麻煩.
2 - λ 1/n 1/n 1/n…… 1/n
1/n 4 -λ 1/n 1/n…… 1/n
.
1/n 1/n 1/n 1/n ……2n-λ
先說明特徵值不等於 2k - 1/n,k = 1,2,...,n
比如當k=1時,如果特徵值 = 2 - 1/n,則行列式
1/n 1/n 1/n 1/n…… 1/n
1/n 4 -λ 1/n 1/n…… 1/n
.
1/n 1/n 1/n 1/n ……2n-λ
第1行減其餘各行即可知 行列式不爲零.所以 2-1/n 不是特徵值.
所以 2k - 1/n - λ 不等於0.
這樣的話就可以求出特徵多項式了.可參照樓上用的加邊法,
|A-λE| =
1 1/n 1/n 1/n 1/n .1/n
0 2 - λ 1/n 1/n 1/n…… 1/n
0 1/n 4 -λ 1/n 1/n…… 1/n
.
0 1/n 1/n 1/n 1/n ……2n-λ
第1行乘 -1 加到其餘各行 得
1 1/n 1/n …… 1/n
-1 2-λ -1/n 0 .0
.
.
.
-1 0 0 2n-λ-1/n
再把第 k 列 乘 1/(2k-λ -1/n) 加到第1列,k=2,3,...n,得上三角行列式.
即得特徵多項式.太繁,你可自己寫出.
但是即使是求出特徵多項式,它的根也是個難題.
你這題目是原題?
若是證明A與對角矩陣相似,直接因爲它是實對稱矩陣就行了,太簡單!
若是讓求可逆矩陣P,滿足 P逆AP = 對角矩陣,太難了!
我沒招了,投降!
再問： 原題就是要證明這個矩陣與對角矩陣相似，我理解應該是證明爲什麼會相似，而不是直接利用實對稱矩陣與對角矩陣相似的定理。 不然，這道題就不是一道證明題了，哈哈 不過還是要謝謝你哈，已經幫到我很多了，我試一下按照你的方法能不能解除行列式來