實對稱矩陣的特徵值必爲實數

題目：

實對稱矩陣的特徵值必爲實數

解答：

證明:設λ是實對稱矩陣A的特徵值,α是A的屬於特徵值λ的特徵向量
即有 A'=A,A共扼=A,Aα=λα,α≠0.
考慮 (α共扼)'Aα = (α共扼)'A'α = (Aα共扼)'α = ((Aα)共扼)'α
所以 λ(α共扼)'α = (λ共扼)(α共扼)'α
因爲 α≠0,所以 (α共扼)'α≠0.
所以 λ = λ共扼
即λ是實數.