若實數x,y滿足x²+y²-2x+4y=0,求x-y的最大值

題目：

若實數x,y滿足x²+y²-2x+4y=0,求x-y的最大值

解答：

方法1:函數圖象法
設 x - y = k
則 y = x - k
這表示一條直線,其截距爲 -k
當 k 取最大時,截距 -k 最小
斜率恆爲 1 的直線 y = x -k 與圓在第四象限相切時,截距 最小
而相切時,經過圓心(1,-2) 和切點的(與 y=x-k 垂直的)直線爲
y + 2 = -(x -1),即
y = -x -1
切點坐標滿足方程組
y = -x -1
x²+y²-2x+4y=0
則
x²+(x+1)²-2x -4(x+1) =0
2x² -4x - 3 = 0
x = 1 + (1/2)√10
y = -x -1 = -2 - (1/2)√10
x - y = 3 + √10
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方法2:判別式法
設 x - y = k
將 x = y + k 代入到 x²+y²-2x+4y=0 中
y² + 2yk + k² + y² - 2y - 2k + 4y = 0
2y² + (2k + 2)y + k² - 2k = 0
由於點 (x,y) 在圓上,關於 x 的方程必然有解
判別式
(2k+2)² - 8(k²-2k)
= -4k² + 24k + 4
= -4(k² - 6k -1) ≥ 0
k² - 6k - 1 ≤ 0
(k - 3)² ≤ 10
-√10≤ k -3 ≤√10
3-√10≤ k ≤ 3 + √10
所以 x - y 最大值爲 3 + √10
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方法3:三角函數法
x = 1 + √5cosθ
y = -2 + √5sinθ
x - y = 3 + √5(cosθ - sinθ)
= 3 + √10 cos(θ+45)
當 cos(θ+45) = 1 時,取最大值,與方法1 和 2 的結論相同