請問如何證明三角形的三條高線交於一點?

題目：

請問如何證明三角形的三條高線交於一點?
給出證明,

解答：

最好畫圖
方法1：
三角形ABC中,AC、AB上的高爲BE和CF.
顯然三角形ABE相似於三角形ACF,故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)
過A作三角形ABC的高AD,分別交BE,CF,AB於O1,O2,D.
由三角形AFO2相似於三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)
由三角形AEO1相似於三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)
根據等式(1)(2)(3)有
AO1*AD＝AO2*AD,
所以AO1=AO2,O1、O2重合,記重合點爲O點,則O點均在高AD,BE,CF上,所以三角形ABC得三條高交於一點O.
方法2：
三角形ABC中,AC、AB上的高BE和CF交於O點,連接並延長AO交BC於D,只需證AD爲高即可.
因爲角BEC,角CFB均爲直角,所以B、C、F、E四點共圓,記爲圓BCFE,
由切割線定理知:AF*AB = AE*AC (4)
分別記直角三角形BOF,COE的外接圓爲圓BOF,圓COE,
下面只需證明角BDA＝90度即可,
反證：若角BDA小於90度,則角CDA大於90度,因BO,CO分別爲圓BOF,圓COE的直徑,所以點D在圓BOF外,在圓COE內,由切割線定理推論
AO*AD>AF*AB （點D在圓BOF外）
AO*AD