高等代數的一道題目,涉及多項式互素和矩陣運算,矩陣的秩.

題目：

高等代數的一道題目,涉及多項式互素和矩陣運算,矩陣的秩.
設數域F上的多項式h(x)和g(x)互素,即（h(x),g(x)）=1,又f(x)=h(x)g(x),若存在n階實矩陣A使得f(A)=0,證明：r (g(A)) + r (h(A)) = n.

解答：

由於秩不依賴於域的選取, 可以在複數域上處理.
先把A化到Jordan標準型, 然後對於每個Jordan塊J_i而言g(J_i)和h(J_i)至少有一個非奇異(因爲g和h沒有重根), 而g(J_i)h(J_i)=0, 所以這兩個因子恰有一個爲零, 另一個滿秩. 把所有Jordan塊對應的秩加一下就是結論.
再問： 您能用別的方法麼？我還沒學到Jordan標準型。謝謝了!
再答： 那我再給你一個辦法, 不需要做域擴張 先取多項式u(x), v(x)使得u(x)g(x)+v(x)h(x)=1 然後對塊對角陣[g(A), 0; 0, h(A)]做塊初等變換 [g(A), 0; 0, h(A)] ~ [g(A), 0; u(A)g(A), h(A)] ~ [g(A), 0; u(A)g(A)+h(A)v(A), h(A)]=[g(A), 0; I, h(A)] ~ [0, -g(A)h(A); I, h(A)]=[0, 0; I, h(A)] ~ [0, 0; I, 0]