高一數學必修一複習提綱

題目：

高一數學必修一複習提綱

解答：

第一部分 集合
1．理解集合中元素的意義是解決集合問題的關鍵：元素是函數關係中自變量的取值?還是因變量的取值?還是曲線上的點?… ；
2．數形結合是解集合問題的常用方法：解題時要儘可能地藉助數軸、直角坐標系或韋恩圖等工具,將抽象的代數問題具體化、形象化、直觀化,然後利用數形結合的思想方法解決； 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3．重視元素的特徵、集合運算（交、並、補）的有關性質和韋恩圖的應用
4．（1）含n個元素的集合的子集數爲2n,真子集數爲2n－1；非空真子集的數爲2n-2；
（2） 注意：討論的時候不要遺忘了 的情況；
（3） .
第二部分 函數
1．映射：注意 ①第一個集合中的元素必須有象；②一對一,或多對一.
2．函數值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判別式法 ；④利用函數單調性 ；
⑤換元法 ；⑥利用均值不等式 ； ⑦利用數形結合或幾何意義（斜率、距離、絕對值的意義等）；⑧利用函數有界性（ 、 、 等）；⑨導數法
3．複合函數的有關問題（1）複合函數定義域求法：① 若f(x)的定義域爲〔a,b〕,則複合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定義域爲[a,b],求 f(x)的定義域,相當於x∈[a,b]時,求g(x)的值域.
（2）複合函數單調性的判定：①首先將原函數 分解爲基本函數：內函數 與外函數 ；②分別研究內、外函數在各自定義域內的單調性；③根據「同性則增,異性則減」來判斷原函數在其定義域內的單調性.
注意：外函數 的定義域是內函數 的值域.
4．分段函數：值域（最值）、單調性、圖象等問題,先分段解決,再下結論.
5．函數的奇偶性⑴函數的定義域關於原點對稱是函數具有奇偶性的先決條件；
⑵ 是奇函數 ；
⑶ 是偶函數 ；
⑷奇函數 在原點有定義,則 ；
⑸在關於原點對稱的單調區間內：奇函數有相同的單調性,偶函數有相反的單調性
(6)若所給函數的解析式較爲複雜,應先等價變形,再判斷其奇偶性；
6．函數的單調性
⑴單調性的定義： 在區間 上是增（減）函數 當 時 ；
⑵單調性的判定定義法：注意：①作差法,一般要將式子 化爲幾個因式作積或作商的形式,以利於判斷符號；②複合函數法（見二3 （2））；③圖像法.
7．函數的周期性
(1)周期性的定義：對定義域內的任意 ,若有 （其中 爲非零常數）,則稱函數 爲周期函數, 爲它的一個周期.所有正周期中最小的稱爲函數的最小正周期.如沒有特別說明,遇到的周期都指最小正周期.
（2）三角函數的周期
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑶函數周期的判定：①定義法（試值） ②圖像法 ③公式法（利用（2）中結論）
⑷與周期有關的結論：① 或 的周期爲 ；② 的圖象關於點 中心對稱 周期2 ；③ 的圖象關於直線 軸對稱 周期爲2 ；
④ 的圖象關於點 中心對稱,直線 軸對稱 周期4 ；
8．基本初等函數的圖像與性質
1．指數與對數運算
（1）根式的概念：
②性質：1） ；2）當 爲奇數時, ；
3）當 爲偶數時, .
（2）．冪的有關概念
①規定：1） N*；2） ；
n個
3） Q,4） 、 N* 且 .
②性質：1） 、 Q）； 2） 、 Q）；
3） Q）.
（注）上述性質對r、 R均適用.
（3）．對數的概念
①定義：如果 的b次冪等於N,就是 ,那麼數 稱以 爲底N的對數,記作 其中 稱對數的底,N稱真數.
1）以10爲底的對數稱常用對數, 記作 ；
2）以無理數 爲底的對數稱自然對數, ,記作 ；
②基本性質：
1）真數N爲正數（負數和零無對數）；2） ；
3） ；4）對數恆等式： .
③運算性質：如果 則
1） ；2） ；
3） R）.
④換底公式：
1） ；2） .
2．指數函數與對數函數
（1）指數函數：
①定義：函數 稱指數函數,
1）函數的定義域爲R；2）函數的值域爲 ；
3）當 時函數爲減函數,當 時函數爲增函數.
②函數圖像：
1）指數函數的圖象都經過點（0,1）,且圖象都在第一、二象限；
2）指數函數都以 軸爲漸近線（當 時,圖象向左無限接近 軸,當 時,圖象向右無限接近 軸）；
3）對於相同的 ,函數 的圖象關於 軸對稱.
③函數值的變化特徵：
（2）對數函數：
①定義：函數 稱對數函數,
1）函數的定義域爲 ；2）函數的值域爲R；
3）當 時函數爲減函數,當 時函數爲增函數；
4）對數函數 與指數函數 互爲反函數.
②函數圖像：
1）對數函數的圖象都經過點（0,1）,且圖象都在第一、四象限；
2）對數函數都以 軸爲漸近線（當 時,圖象向上無限接近 軸；當 時,圖象向下無限接近 軸）；
4）對於相同的 ,函數 的圖象關於 軸對稱.
③函數值的變化特徵：
⑴冪函數： （ 注意 五種情況在第一象限的圖象
9．二次函數：⑴解析式：①一般式： ；②頂點式： , 爲頂點；③零點式： .
⑵二次函數問題解決需考慮的因素：①開口方向；②對稱軸；③端點值；④與坐標軸交點；⑤判別式；⑥兩根符號.⑶二次函數問題解決方法：①數形結合；②分類討論.
10．函數圖象⑴圖象作法 ：①描點法（注意三角函數的五點作圖）②圖象變換法③導數法
⑵圖象變換：
平移變換：ⅰ , ———左「+」右「-」；
ⅱ ———上「+」下「-」；
伸縮變換：
ⅰ , （ ———縱坐標不變,橫坐標伸長爲原來的 倍；
ⅱ , （ ———橫坐標不變,縱坐標伸長爲原來的 倍；
對稱變換：ⅰ ；ⅱ ；
ⅲ ； ⅳ ；
翻轉變換：
ⅰ ———右不動,右向左翻（ 在 左側圖象去掉）；
ⅱ ———上不動,下向上翻（| |在 下面無圖象）；
11．函數零點的求法：⑴直接法（求 的根）；⑵圖象法；⑶二分法.