連續N個自然數的平方的和等於多少

題目：

連續N個自然數的平方的和等於多少

解答：

平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (註：N^2=N的平方)
證明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6
證法一（歸納猜想法）：
1、N＝1時,1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2、N＝2時,1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3、設N＝x時,公式成立,即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
則當N＝x＋1時,
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也滿足公式
4、綜上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得證.
證法二（利用恆等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把這n個等式兩端分別相加,得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理後得：
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6