高數難題大神進!

題目：

高數難題大神進!

解答：

首先求f(x,y)沿直線y=4x/3的方向導數,即ðf/ðl=f'x*cosα+f'y*cosβ=(3/5)f'x+(4/5)f'y,由於梯度的模是方向導數模的最大值,所以|(3/5)f'x+(4/5)f'y|≤1,即|3f'x+4f'y|≤5.現在來求|f(3,4)|,利用拆添項的技巧,|f(3,4)|=|f(3,4)-f(0,4)+f(0,4)-f(0,0)|,再分別用拉格朗日中值定理,得|f(3,4)|=|3f'x(3ζ,4)+4f'y(0,4η)|,其中ζ,η屬於(0,1),而|3f'x+4f'y|≤5,即|f(3,4)|≤5.