已知數列AN滿足an=1 且an=2A（n-1）+2的N次 1求a1a2 （2）證明數列AN/2n次是等差 （30）前N

題目：

已知數列AN滿足an=1 且an=2A（n-1）+2的N次 1求a1a2 （2）證明數列AN/2n次是等差 （30）前N項和SN

解答：

1)a1=1,a2=2a1+2^2=2+4=6 2)an=2a(n-1)+2^n 兩邊同除2^n得 an/2^n=2a(n-1)/2^n+1=a(n-1)/2^(n-1)+1 ∴an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=1,a1/2^1=1/2 ∴{an/2^n}是首項爲1/2,公差爲1的等差數列 3)an/2^n=1/2+(n-1)=(2n-1)/2,∴an=(2n-1)/2×2^n=(2n-1)×2^(n-1) Sn=1×2^0+3×2^1+5×2^2+...+(2n-1)×2^(n-1)① ∴2Sn=1×2^1+3×2^2+5×2^3+...+(2n-1)×2^n② ②-①得 Sn=-1×2^0+(1-3)×2^1+(3-5)×2^2+...+[(2n-3)-(2n-1)]×2^(n-1)+(2n-1)×2^n ∴Sn=-1-2^2-2^3-...-2^n+(2n-1)×2^n=-1-(2^2+.+2^n)+(2n-1)×2^n =-1-4×[2^(n-1)-1]/(2-1)+(2n-1)×2^n=-1-4×2^(n-1)+4+(2n-1)×2^n =3-2×2^n+(2n-1)×2^n=3+(2n-1-2)×2^n=3+(2n-3)×2^n 即Sn=3+(2n-3)×2^n