利用單調有界收斂準則,證明：數列X1=1/2,X（n+1）=(1+Xn*2)/2,(n=1.2.)存在極限

題目：

利用單調有界收斂準則,證明：數列X1=1/2,X（n+1）=(1+Xn*2)/2,(n=1.2.)存在極限

解答：

證明：（一）由x1=1/2,x(n+1)=(xn²+1)/2.可得x1=1/2,x2=5/8.∴x1＜x2.又2x(n+1)=xn²+1≥2xn.===>x(n+1)≥xn.∴{xn}是遞增數列.（二）易知,0＜x1＜x2＜1.假設0＜xn＜1,===>0＜xn²＜1.===>1＜xn²+1＜2.===>1/2＜(xn²+1)/2＜1.===>x(n+1)＜1.∴數列{xn}有上界1.∴{xn}存在極限.可設極限爲a,在遞推式兩邊取極限得：2a=a²+1.===>a=1.即極限爲1.