如圖，在平行四邊形ABCD中，E爲BC邊上一點，且AE與DE分別平分∠BAD和∠ADC．

題目：

如圖，在平行四邊形ABCD中，E爲BC邊上一點，且AE與DE分別平分∠BAD和∠ADC．

（1）求證：AE⊥DE；
（2）設以AD爲直徑的半圓交AB於F，連接DF交AE於G，已知CD=5，AE=8，求

解答：

（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°．                     
又∵AE、DE平分∠BAD、∠ADC，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥DE．               
（2） 在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，AD=BC，
∴∠DAE=∠BEA．                        
又∵∠DAE=∠BAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BE=AB=5．                           
同理EC=CD=5．
∴AD=BC=BE+EC=10．                       
在Rt△AED中，DE=
AD2-AE2=
102-82=6．
又∵AE是∠BAD的角平分線，
∴∠FAG=∠DAE．
∵AD是直徑，
∴∠AFD=90°，
∴tan∠FAG=
FG
AF，
∴
FG
AF=tan∠DAE=
DE
AE=
6
8=
3
4．

試題解析：

（1）由四邊形ABCD是▱，可知AB∥CD，那麼就有∠BAD+∠ADC=180°，又AE、DE是∠BAD、∠ADC的角平分線，容易得出∠DAE+∠ADE=90°，即AE⊥DE；
（2）由於AD∥BC，AE是角平分線，容易得∠BAE=∠BEA，那麼AB=BE=CD=5，同理有CE=CD=5，容易得出AD=BC=BE+CE=10．
在Rt△ADE中，利用勾股定理可求DE，由於AD是直徑，所以tan∠FAG=

名師點評：

本題考點： 勾股定理；平行四邊形的性質；圓周角定理；解直角三角形．
考點點評： 本題綜合考查了平行四邊形的性質、三角函數值、勾股定理等知識．