已知函數f(x)=a+2的x次方/2的x次方+1是定義在R上的奇函數,①求實數a的值及函數f(x)的解析式；

題目：

已知函數f(x)=a+2的x次方/2的x次方+1是定義在R上的奇函數,①求實數a的值及函數f(x)的解析式；
②當X∈｛-1,2｝時,求函數f(x)的取值範圍

解答：

1
f(x)=2^x/(2^x+1)+a,是定義域爲R的奇函數,故f(-x)=-f(x)
f(-x)=1/(2^x+1)+a,-f(x)=-2^x/(2^x+1)-a
即：1/(2^x+1)+a=-2^x/(2^x+1)-a
即：2a=-(2^x+1)/(2^x+1)=-1,故a=-1/2
所以：f(x)=2^x/(2^x+1)-1/2
2
f(x)=2^x/(2^x+1)-1/2=1/2-1/(2^x+1)
-1/(2^x+1)是形如y=-1/u的反比例函數與u=2^x+1的複合函數
y=-1/u是增函數,u=2^x+1也是增函數,故f(x)是R上的增函數
只不過,當x趨於+inf時,f(x)趨於1/2,當x趨於-inf時,f(x)趨於-1/2
所以,當x∈[-1,2]時,f(x)的最小值：fmin=f(-1)=-1/6
f(x)的最大值：fmax=f(2)=3/10
所以：f(x)∈[-1/6,3/10]