（2014•海門市模擬）在直角三角形ABC中，∠C=90°，點O爲AB上的一點，以點O爲圓心，OA爲半徑的圓弧與BC相切

題目：

（2014•海門市模擬）在直角三角形ABC中，∠C=90°，點O爲AB上的一點，以點O爲圓心，OA爲半徑的圓弧與BC相切於點D，交AC於點E，連接AD．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）已知AE=2，DC=

解答：

（1）證明：連接OD，
∵OA爲半徑的圓弧與BC相切於點D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠CAD，
又∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠CAD=∠OAD，
∴AD平分∠BAC．

（2）過O作OH⊥AC於H，
∵OH⊥AC，OH過O，
∴AH=HE=
1
2AE=1，
∵OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°，
∴OH∥CD，
∵OD∥AC，
∴四邊形OHCD是矩形，
∴OH=DC=
3，
∴在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA=
AH2+OH2=
12+(
3)2=2，
即圓弧的半徑是2．