如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．過點C作CE⊥AB於E，交對角線BD於F，點G

題目：

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．過點C作CE⊥AB於E，交對角線BD於F，點G爲BC中點，連接EG、AF．

（1）求EG的長；
（2）求證：CF=AB+AF．

解答：

（1）∵BD⊥CD，∠DCB=45°，
∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC=
DB2+CD2=2
2，
∵CE⊥BE，
∠BEC=90°，
∵點G爲BC的中點，
∴EG=
1
2BC=
2（直角三角形斜邊上中線的性質）．
答：EG的長是
2．
（2）證明：在線段CF上截取CH=BA，連接DH，
∵BD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠EBF=∠DCF，
∵DB=CD，BA=CH，
∴△ABD≌△HCD，
∴AD=DH，∠ADF=∠HDC，
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DBC=45°，
∴∠HDC=45°，∴∠HDF=∠BDC-∠HDC=45°，
∴∠ADF=∠HDF，
∵AD=HD，DF=DF，
∴△ADF≌△HDF，
∴AF=HF，
∴CF=CH+HF=AB+AF，
∴CF=AB+AF．
（解法二）證明：延長BA與CD延長線交於M，
∵△BFE和△CFD中，
∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，
∴∠MBD=∠FCD，
∵在△BCD中，∠DCB=45°，BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC=45°=∠DCB，
∴BD=CD，
△BMD和△CFD中，
∵BD=CD，∠BDM=∠CDF=90°，∠MBD=∠FCD，
∴△BMD≌△CFD，
∴CF=BM=AB+AM，DM=DF，
∵AD∥BC，∠ADF=∠DBC=45°，∠BDM=90°，
∴∠ADM=∠ADF=45°，
在△AFD和△AMD中
∵

DM＝DF
∠ADM＝∠ADF
AD＝AD，
∴△AFD≌△AMD，
∴AM=AF，
∴CF=BM=AB+AM=AB+AF，即CF=AB+AF．
再問： 剛發出去就知道了中線。手抖

試題解析：

（1）根據BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根據勾股定理求出BC=2

2

，根據CE⊥BE，點G爲BC的中點即可求出EG；
（2）在線段CF上截取CH=BA，連接DH，根據BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，證出△ABD≌△HCD，得到CD=BD，∠ADB=∠HDC，根據AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，證出△ADF≌△HDF，即可得到答案．

名師點評：

本題考點： 梯形；全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．
考點點評： 本題主要考查對梯形，全等三角形的性質和判定，平行線的性質，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵．