在某點的導數判斷.請問這類題目怎麼分析,

題目:

在某點的導數判斷.

請問這類題目怎麼分析,

解答:

首先,|f(x)|在x=a處可導,從而連續,所以lim(x→a) |f(x)|=|f(a)|=0,所以lim(x→a) f(x)=0=f(a),所以f(x)在x=a處連續.
其次,|f(x)|在x=a處可導,則lim(x→a) |f(x)|/(x-a)存在.x>a時,|f(x)|/(x-a)≥0,所以極限非負.x<a時,|f(x)|/(x-a)≤0,所以極限非正.所以|f(x)|在x=a處的導數只能是0,即lim(x→a) |f(x)|/(x-a)=0.所以lim(x→a) |f(x)|/|x-a|=0,lim(x→a) f(x)/(x-a)=0.
所以f(x)在x=a處可導,且f'(a)=0.
答案是 D

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