設函數f(x)在【0,1】上二階可導,且有f(0)=f(1)=0,設F(x)=xf(x),證明：至少存在一點e∈（0,1

題目：

設函數f(x)在【0,1】上二階可導,且有f(0)=f(1)=0,設F(x)=xf(x),證明：至少存在一點e∈（0,1）,使得F``(e)=0

解答：

F(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,F(0)=F(1)=0,根據羅爾定理,至少存在一點ζ∈（0,1）,使得F'(ζ)=0.
F'(x)=f(x)+xf'(x),F'(0)=f(0)+0=0,所以F'(x)在[0,ζ]上連續,在(0,ζ)內可導,F'(0)=F'(ζ)=0,由羅爾定理,至少存在一點e∈(0,ζ),使得F''(e)=0.
所以,至少存在一點e∈（0,1）,使得F''(e)=0.