大學導數問題f(x)在[a,b]上一階可導,在(a,b)上二階可導,f(a)=f(b)=0,f'(x)在a,b處同號,證

題目：

大學導數問題
f(x)在[a,b]上一階可導,在(a,b)上二階可導,f(a)=f(b)=0,f'(x)在a,b處同號,證明
存在t∈(a,b)使得f''(t)+2f'(t)+f(t)=0

解答：

1、先證f(x)至少有第三個零點
由於f '(x)在a,b處同號,不防設f '(x)在a,b處爲正
由f '(a)>0,且f '(x)連續,則存在a的右鄰域,使得在此鄰域內,f '(x)>0,
即在此鄰域內,函數單調增,因此存在c>a,使得f(c)>f(a)=0
同理：由f '(b)>0,且f '(x)連續,則存在b的左鄰域,使得在此鄰域內,f '(x)>0,
即在此鄰域內,函數單調增,因此存在d
再問： 你是怎麼想到要構造這樣一個函數的。。。
再答： 做題多了的經驗，也是慢慢試出來的，做你這個題我試過xf(x)，x²f(x)，最後確定了是e^xf(x)。不知你是不是大一學生，如果是大一學生，那只能靠多做題累積經驗，觀察什麼樣的函數求導後會出現這種形式。 如果你已學完高數，那還有別的方法，這個函數是可以求出來的。不過我很少用這個方法。 方法就是把f ''(x)+2f '(x)+f(x)=0當作一個微分方程來求解（如果你學過微分方程的話），可以解出微分方程的一個解爲：f(x)=Ce^(-x)，因此e^xf(x)=C，此時取g(x)=e^xf(x)就一定行。不過這個方法的前提是需要學過解微分方程。