若X>0,求函數Y=4X+16/X平方的最小值(2)設0〈X〈1,求函數Y=4/X+9/1-x的最小值

題目：

若X>0,求函數Y=4X+16/X平方的最小值(2)設0〈X〈1,求函數Y=4/X+9/1-x的最小值

解答：

(1)：根據不等式a²+b²≥2ab(比較重要的不等式),知4X+16/X≥2(4x×16/X)^1/2=16,等號成立若且唯若4x=16/X,即x=2,所以x=2時Y=4X+16/X最小爲16.
(2)：解法一：Y=4/X+9/1-x=(4+5x)/[x(1-x)],對x求導數Y'=(5x²+8x-4)/[x(1-x)]²,令Y'=0,可以得到x=2/5時,Y=25是最小的.
解法二：（繼續用不等式a²+b²≥2ab）,令1/x=t,則1-x=1-1/t=(t-1)/t,則Y=4t+9t/(t-1)=(4t²+5t)/(t-1)=[4(t-1)²+13(t-1)+9]/(t-1)=13+4(t-1)+9/(t-1)≥13+2×2×3=25.等號成立若且唯若4(t-1)=9/(t-1),此時算出x=2/5.
註：
以上的解法也適合一般的不等式Y=a/X+b/1-x,求其最小值.
易用解法二算一下：令1/x=t,則Y=（a+b）+a(t-1)+b/(t-1)≥a+b+2(ab)^1/2,此時等號成立若且唯若a(t-1)=b/(t-1),算出t=1+(b/a)^1/2,而1/t=x,即可算出x的值.
希望你能從中體會,因爲做變換實際上也是一種常用的方法,