A,B是拋物線y2=2px(p>0)上兩點,滿足OA向量乘OB向量=0 求證AB經過一個定點.作OM垂直AB於M,M軌跡

題目：

A,B是拋物線y2=2px(p>0)上兩點,滿足OA向量乘OB向量=0 求證AB經過一個定點.作OM垂直AB於M,M軌跡方程.

解答：

設A(y1^2/2p,y1),B(y2^2/2p,y2),則由OA向量乘OB向量=0得,(y1y2)^2/4p^2+y1y2=0,即y1y2(y1y2/4p^2+1)=0,y1y2不等於0,所以y1y2= -4p^2；寫出AB直線方程並化簡得
y(y1+y2)=2p( x-2p) ,觀察易得恆過點(2p,0)；由直線OM的斜率爲AB斜率倒數分之一可以寫出OM的方程y= -(y1+y2)/2p *x,接著與AB方程y(y1+y2)=2px-4p^2聯立,觀察一下,只需消去y1+y2即可得到M的軌跡,即y^2=2px -x^2