【複變函數】若複函數f和f^2均是調和函數在一個區域裡、證明f與其共軛中有一個爲全純函數在此區域中.

題目：

【複變函數】若複函數f和f^2均是調和函數在一個區域裡、證明f與其共軛中有一個爲全純函數在此區域中.
這裡的區域指的是一個連通開集.
我試過直接計算、但是似乎得不出結果、不知道是不是算錯了、還是得弄其他方法。

解答：

用C.-R.方程的等價形式
來證明：
f調和Δf=0（Δ拉普拉斯算子）
f²調和Δf²=0,即2fΔf+2（∂f/∂x）²+2（∂f/∂y）²=0 ,運用f調和的結論
（∂f/∂x）²+（∂f/∂y）²=0 
（∂f/∂y-i∂f/∂x）（∂f/∂y+i∂f/∂x）=0
所以∂f/∂y-i∂f/∂x=0或∂f/∂y+i∂f/∂x=0,有f調和,u、v在D內有一階連續偏導
滿足第一個則f在D內解析,滿足第二個是f共軛的C.-R.方程等價形式,則f共軛在D內解析